為什么學術界的人即使有一個簡單但正確的證明，也要尋求嚴格的證明？

在數學及相關領域，有兩個核心原因：

• “簡單”的證明可能是錯誤的
• 找到一個嚴格的證明將教會我們一些新的東西

直覺可能是錯誤的第一個原因很重要，因為我們真的不想出錯.大多數數學思想都建立在數學中的其他思想之上，如果一個人不成立，整個領域可能會傾覆。

“簡單”但不嚴格的證明的問題在于，我們的直覺很容易完全錯誤。數學嚴謹性背后的全部要點——背后的全部要點所有的數學也許——是給我們一種外部方式來檢查和挑戰我們的直覺。這在某些領域比其他領域更重要（人類發現概率和無窮大非常不直觀），但它在任何地方都相關。我們根本不能依靠直覺本身。

這是一個錯誤證明的例子[數學]\pi = 4[/數學]在社交媒體上反彈。這個想法是，我們可以取一個周長為 4 的正方形來界定一個直徑為 1 的圓，去掉它的角以獲得一個更接近圓但仍然具有相同周長的形狀，然后無限重復這個過程來得到一個圓。

這是我在上面找到的一個稍微有點模因的插圖數學SE， 最初是從最好的.（如果您看到圖表，就更容易理解發生了什么。）

這個證明簡單明了明顯錯誤.我們知道這一點，因為我們碰巧知道[數學]\pi\ne 4[/數學]，但如果我們不知道這一點，我們會在哪里？

這里的實際錯誤非常微妙（看看數學SE一個解釋的線程），而我們發現它的唯一方法是嘗試使論證變得嚴謹。更一般地說，只有這樣我們才能合理理解[數學]\pi[/數學]它與圈子的關系是通過嚴格的論證。

嚴謹的證明教會我們更多我提出的第一個原因對于非數學家來說很容易理解。我的意思是，可能需要舉幾個例子來了解直覺是如何讓我們誤入歧途的，但很明顯為什么我們不想犯錯。（除非你深入研究形而上學或大陸哲學，但我并不在乎。）

但我想說這不是激勵數學家的主要因素。我的意思是，它是重要的，數學家比大多數人更重視正確性，但還有其他方法可以知道我們對某事是正確的。

我最近去看了一部關于孿生素數猜想的紀錄片。演出結束后，我與一位著名的數論家進行了交談，他對這樣的猜想有一個有趣的看法：我們已經知道它們是真的.我們知道這些猜想和我們所知道的一樣成立任何事物在數學之外，以及我們知道明天太陽會升起。我們進行了大量模擬，處理了粒子物理學家羨慕的大量數據，進行了在任何物理科學中都不可行的實驗，而這些猜想一直成立。

這是大量的證據，在任何其他情況下都具有壓倒性的說服力。幾乎所有你在學校里學到的算術以外的事實，出于必要，支持較少.

在數學之外不可能真正存在嚴格的數學水平。抽象地說，這個級別的事實是在數學中可達到的，并不會使其他證據在絕對意義上變得不那么令人信服。

那么為什么要特意去證明這些基本上已經知道的事情呢？

答案是我們不關心證明只是為了告訴我們猜想是否正確：我們關心一個嚴格的證明來闡明關于問題的結構.在這種情況下，證明將幫助我們理解數字本身的結構.我們將學習一些全新的東西。一些長期存在的猜想的證明幾乎肯定會依賴于根本新穎的想法，因為如果不這樣做，那么現在就會有人發現它1。反過來，這將導致新的抽象、新的探究領域和數學家需要解決的新問題。

在很大程度上，這就是數學的實際進展方式：證明不提供已知問題的二元答案，而是幫助建立對數學的理解結構體數學對象及其行為。數學證明不僅僅是其結論的證據，以至于我們可能根本不關心結論。

這有點難以理解，因為這里的“結構”是一種模糊的概念。當我說這句話時，很難確切地確定我的意思，實際上，它會因領域而異。借用拉姆斯菲爾德的術語，猜想是已知的未知數，而我們更關心發現未知未知數，這就是嚴格證明的真正作用。很難準確解釋這些未知的未知數是-那時它們只是未知的——但你可以明白為什么它們會有趣和重要。

腳注1 好吧，這個推理有點可疑。讓我想起經濟學家的笑話：

兩位經濟學家正走在路上，看到地上有一張 100 美元的鈔票。另一個轉向他說：“別費心去撿了。如果地上有 100 美元，早就有人拿走了。”

就像套利機會存在一樣，即使有人現在應該已經套利它們，我們偶爾也會找到無聊的證據來打開問題。但通常情況并非如此，問題越出名，證明就越有可能有趣。

寶寶起名