解決數學問題所需的研究可能需要數年時間。怎么樣，為什么？

為什么不呢？即使非常簡短，非常簡單的陳述也可以有非常長的證明。

讓我證明這是真的（如果你愿意接受上述信仰，你可以跳過幾段）。考慮所有關于算術的陳述的集合，這些陳述是可證明的（例如，來自皮亞諾公理），并且可以使用不超過[數學] N [/數學]在修改了表達此語言的語言之后，符號。這些陳述中的每一個都有假設證明;讓我們考慮最短的證據。好吧，因為只有有限數量的符號，無論你選擇哪種語言，只能有多少這樣的語句，所以其中一個具有最長的最短證明。讓我們稱之為證明的長度[數學]升（N）[/數學]。關鍵在于任何可證明是真實且不超過的陳述[數學] N [/數學]符號必須有最多的證明[數學]升（N）[/數學]符號很長。

現在，假設[數學]升（N）[/數學]由一些可計算的函數限制在上面[數學] F（N）[/數學]- 也就是說，有一些算法，如果你給它[數學] N [/數學]作為輸入，它將返回一個保證大于的整數[數學]升（N）[/數學]。例子可能是[數學] N ^ 2 [/數學]，[數學] N ^ 5 - N + 1 [/ math]，[數學] 2 ^ N [/數學]， 等等。那么，現在讓我們選擇一個任意的陳述[數學] S [/數學]關于算術。我們測量它的長度是多少，并將其寫為[數學] N [/數學]。然后我們計算[數學] F（N）[/數學]，然后我們檢查所有長度不超過的證明[數學] F（N）[/數學]，并檢查它們中是否有任何證明[數學] S [/數學]。如果我們找到它，那就太好了 - 我們已經證明了這一點[數學] S [/數學]是真的。如果我們沒有找到它，那么我們可以得出結論，公理不能證明這一點[數學] S [/數學]是真的。

但是，存在一個問題：使用哥德爾編號，您可以構造一個語句[數學] S [/數學]這句話說“這句話沒有比證明更短的證據[數學] F（100）[/數學]“聲明本身明顯短于[數學] 100 [/數學]符號很長，所以這將是一個矛盾！由此，我們必須得出結論[數學]升（N）[/數學]增長快于任何可計算的功能。它最終將遠大于[數學] N ^ 2 [/數學]，[數學] N R個5 /數學]，[數學] 2 ^ N [/數學]，[數學] 2 ^ {2 ^ N} [/數學]，還有你能想到的其他任何東西。

因此，我們得出一個單一的，無可否認的結論：即使是相對較短的陳述也可以擁有巨大的，令人費解的長證據。（甚至在你考慮到人類極不可能找到給定語句的最短證據之前，因為我們將要搜索可讀的東西。）宇宙中這個不可改變的事實告訴你蠻力接近試圖找到數學陳述的證據是完全注定的;它實際上永遠不會是一種可行的方法。

鑒于這是不可能的，有哪些選擇？或多或少，有兩個：你可以非常聰明，或者你可以非常耐心。當一些數學家對如何大大簡化問題有一些敏銳的見解時，有一些定理得到證實，并且通過一些直覺的飛躍提出了正確解決方案所需的路徑。其他定理被證明是由于許多數學家花了很多時間來理解這個陳述如何適應一些更大的框架，并且隨著時間的推移建立一個通用的結果體，一點一點地將所需語句的難度降低到零。在實踐中，它通常最終成為這兩種方法的某種組合。但是，您可能會注意到，這兩種方法都無法快速發揮作用。直覺的自發跳躍需要幾個月，幾年甚至幾代先前的工作，試圖在最終成為可能之前理解問題。理論建設在其發展方式上更為一致，但它也需要大量時間來消化，確定哪些問題是正確的研究，正確衡量目前可解決的問題，以及哪些問題應留給下一代深思。

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